カッツの太鼓の問題
ぎょ、なんかブクマついてる。しかも鋭いご指摘のコメントまで。こりゃカッツの提起した問題を、ちゃんと整理しとかなきゃ。専門家の方、間違い等ありましたら、ご指摘いただけますと助かります。
さて太鼓の形をDとすると、その固有振動は、固有値問題
∆u/2 = -λu (D内で)
u = 0 (境界∂D上で)
の解として与えられて、その固有値
0<λ1≦λ2≦λ3≦...
が固有振動数を与え、対応する固有関数
φ1, φ2, φ3, ...
が、それぞれの固有振動数で振動する膜の変位の様子を与えるぞと。
ND(λ) = #{n|λn≦λ}
とおけば、ワイルの公式
ND(λ) ~ (2/π)A(∂D)λ (λ→∞)
が成り立つ。ここでA(∂D)はDの面積で、従って太鼓の音を聴けば、その面積がわかるぞと。
カッツの問題とは、この漸近挙動をもっと詳しく調べれば、太鼓の形についての幾何学的情報がすべて得られないだろうか、という問いかけである。
で、ここから先は、周の長さならわかるだとか、境界の形状によってどうだとか、穴の数がどうしたとか、そういう難しい問題が研究される*1わけですが、一般に（円でない）太鼓の形についてスペクトルから推測できるかという問題に関しては、どうもよくわからんぞと。そういうことのようです。
その問題提起に触発され、いろいろと頑張ってみた精力的な努力のひとつが先に引用したリンクで、何より画像でヴィヴィッドに見せていただけるというのが、非常にシビれるなと、勝手に紹介したくなったわけです。
